[선형대수학] 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)

고유값과 고유벡터를 이해하기 위해서는 선형변환과 행렬의 의미에 대해 먼저 알아야 한다.

 

[선형대수학] 선형변환과 행렬

 

위 포스팅을 이해했다면, 고유값과 고유벡터의 이해는 매우 쉽다. 

 

어떤 선형변환에 의해 기존의 기저는 새로운 기저로 바뀔 것이다. 이 기저가 바뀜에 따라 기존의 기저로 표현되던 모든 공간상의 점들은 새로운 기저를 통해 표현이 될 것이다. 

 

이렇게 새로운 기저를 통해 표현된 벡터는 기존의 방향과 다른 방향을 가리킬 가능성이 매우 높다. 말로만 하면 어려우니 다음 GIF를 보면 이해가 바로 된다.

 

출처: https://medium.com/@avneesh.khanna/eigenvectors-eigenvalues-an-intuitive-visual-explanation-f2ddc0b88bf5

 

노란색 벡터는 선형변환에 따라 원래 가리키던 방향이 아닌 다른 방향을 가리킨다.

 

하지만 이런 수 많은 벡터들 중 선형변환 이후에도 같은 방향을 가리키는 벡터가 존재하는데, 다음과 같은 상황이다.

 

 

노란색 벡터에 주목해보자. 기존의 초록색, 빨간색으로 표현되는 기저가 선형변환에 따라 바뀜에도 불구하고 노란색 벡터의 방향은 바뀌지 않는다. 단지 벡터의 크기가 커질 뿐이다. 

 

수학은 특별한 속성을 갖는 것들에 이름 붙이는걸 좋아한다.

 

이런 매우 특별한, 선형변환 이후에도 자신의 원래의 방향을 유지하는 벡터를 고유벡터라고 한다.

그리고 고유벡터는 오직 스칼라 값에 의해 그 크기가 늘어나거나 줄어들 수 있는데, 그 변화 값을 고유값이라고 하는 것이다!

 

 

위의 식이 의미하는 것은 다음과 같다.

"어떤 벡터 v에 선형변환 M을 취해 주었는데 벡터v는 방향이 변하지 않았고, 자신의 크기의 2배만큼 늘어나는 효과만 있더라!"

 

여기까지 이해했으면 이제 이 고유벡터와 고유값을 찾는 식을 자연스럽게 이해할 수 있다.

 

여기서 A는 정방행렬이고, λ는 스칼라 값이다. 당연하게 이 식에서의 벡터 x는 고유벡터가 될 것이고, 스칼라 값 λ는 고유값이 될 것이다.

 

이제 위의 두번째 식을 관찰해보자. 상식적으로 X*Y=0 이라는 식이 있을 때 해의 값은 X=0 이거나 Y=0 이어야 한다.

 

그렇다면 저 식에서 A- λI = 0 이거나, 벡터 x가 영벡터여야 한다. 만약 벡터 x가 영벡터면  A- λI 는 어떠한 값을 가져도 상관 없다. 벡터 x가 영벡터라는 것은 Trivial Soulution이고, 우리는 이런 trivial solution을 원하는 것이 아니다.

 

Nontrivial solution을 위해서는 A- λI가 역행렬을 갖지 않아야 한다. 만약 A- λI가 역행렬을 갖게 되면 방정식의 해가 영벡터가 되기 때문이다. 

 

약간 이해가 안될 수 있는데 쉬운 예시로 3*X=0이라는 방정식을 푼다고 생각해보자. 양변에 3의 곱셈 역원 1/3을 곱하여 X=0이라는 결과 값을 얻을 수 있다. 우리는 이런 trivial을 원하는 것이 아니므로, 역원이 존재하는 상황이 생겨서는 안된다는 것이다.

 

따라서 위의 식이 nontrivial solution을 얻게 될 필요충분 조건은 

 

 

이 된다. 이 식을 이용하여 고유값과 고유벡터를 구할 수 있다.

 

 

 

이제 위의 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하는 과정을 소개하며 이번 포스팅을 마무리 하도록 하겠다.

 

 

이제 위에서 구한 고유값을 바탕으로 고유벡터를 구하면 된다.

 

 

다음 포스팅에선 드디어 선형대수의 꽃 중의 하나인 고유값 분해에 대해 살펴보자!

 

끝!