[선형대수학] 행렬식의 기하학적 의미

이번 포스팅에서는 선형대수학에서의 행렬식에 대해 알아보도록 하자.

행렬식 (Determinant)

 
Determinant 라고도 불리는 행렬식의 notation은 다음과 같다.

이제부터 우리는 '정방행렬'에 주목할 것이다. 정방행렬(square matrix)이란 같은 수의 행과 열을 갖는 행렬을 의미한다. 왜 정방행렬에 주목해야 하는지에 대해서는 차차 알아보자.
 
2X2 정방행렬에서 행렬식은 다음과 같이 정의된다.
 

출처 : https://angeloyeo.github.io/2019/08/06/determinant.html#google_vignette

 
 2차원 정방행렬에서 행렬식은 쉽게 계산할 수 있다. 하지만 이 행렬식이 의미하는 것은 무엇일까?
 
결론부터 말하면 행렬식은 선형변환 이후 단위면적의 넓이 변화이다. 
 
다음과 같은 i,j 기저로 이루어진 사각형의 넓이를 살펴보자.

 
너무나 쉽게 벡터 i, 벡터 j가 만드는 사각형의 넓이는 1임을 알 수 있다.
 
이전 글에서 행렬은 선형변환임을 언급한 적 있다. 
 
https://stydy-sturdy.tistory.com/17

[선형대수학] 선형변환과 행렬

 
위 글에 따르면, 행렬은 곧 선형변환이고 즉 기저벡터의 변환이다. 
 
만약 어떠한 행렬(선형변환)에 의해 기존의 기저가 변하게 된다면, 새로운 기저가 이루는 넓이는 기존에 비해 얼마나 변할 것인가?
 
위의 질문에 대한 답이 '행렬식'이다. 행렬식은 그 넓이 변화에 대한 스칼라 값인 것이다. 아래 GIF를 보자.

 
기저가 변함에 따라 두 기저가 형성하는 도형은 직사각형에서 평행사변형이 되고, 그에 따라 넓이도 변한다.(물론 위의 예시에서는 변하지 않지만 선형변환에 따라 충분히 변할 수 있는 것이다.)
 
이제 직접적인 예시를 이용하여 이 개념을 더 직관적으로 이해해보자.

 
기존의 기저 (1,0)^T , (0,1)^T 가 행렬에 의해 선형변환 되면, 새로운 기저는 (3,0)^T , (0,2)^T가 된다. 그리고 새로운 기저에 의한 넓이는 직사각형의 넓이 6이 된다. 즉, 기존의 기저가 이루는 정사각형 넓이의 6배가 된 것이다. 
 
이제 위의 행렬을 행렬식 공식을 이용하여 계산해보자. 3*2 - 0*0 = 6 정확히 6이 나온다. 행렬식이 기저가 이루는 면적(단위 면적)의 변화임을 다시 한번 확인할 수 있다. 
 

 
또한 재미있는 점은, 행렬식이 단위 면적의 넓이 변화를 나타내기 때문에, 어떠한 면적이든 행렬식만큼 변화함을 알 수 있다. 예를들어 단위 면적이 선형변환에 의해 6배 증가하였다면, 위의 동글동글한 면적도 정확히 6배가 될 것이다.
 
이 개념에 의해 행렬식 공식을 기하학적으로 증명할 수 있다. 

출처 : https://lazymatlab.tistory.com/201/

 
 
그런데 행렬식의 값이 항상 양수 인 것은 아니다.
 
다음은 행렬식이 0인 상황이다.

 
위의 이미지를 이해해보면 기존의 기저가 이루던 면적이 선형변환 후 0이 되었다. 이를 직관적으로 이해해보면 새로운 두 기저벡터가 같은 직선 위에 위치해 있다는 것이다.
 
사실 행렬식이 0이 되는 케이스는 매우 중요한데, 행렬에 의한 선형변환이 기존의 기저로 표현되던 것들을 더 작은 차원으로 축소시키는 것으로 해석할 수 있기 때문이다. 
 
그렇다면 마지막으로, 행렬식이 음수라는 것은 무엇을 의미하는 것일까?

 
위 행렬의 행렬식은 -2이다. 
 

 
기존의 기저를 다음과 같이 생각했을 때, j벡터는 i벡터의 왼쪽에 있음을 알 수 있다. 하지만 위의 행렬에 의해 선형변환된 기저의 결과는 다음과 같다.
 

 
선형변환의 결과, 기저 i를 선형변환한 새로운 기저가 j를 선형변환한 새로운 기저보다 왼쪽에 있음을 알 수 있다. 즉, 기저의 상대적인 위치가 변화했다는 것이다. 하지만 여전히 새로운 기저가 이루는 면적은 기존 면적의 2배이다. 즉, 행렬식이 음수일 때에는 선형변환을 통해 기존 기저가 이루는 상대적인 위치가 변화하였음을 알 수 있다.
 
※ 참고로 3X3 정방행렬의 행렬식의 의미는 선형변환 이후 단위부피의 변화이다!!
 
다음 포스팅에서는 이 행렬식의 기하학적 의미를 이용하여 역행렬에 대해 살펴보자.
 
끝!